(Jose León Reyes)

division sintetica de rufini




Sean  y dos polinomios, entonces, se definen las siguientes operaciones :  

i) SUMA :  
,donde r= máx(m,n)  

ii) DIFERENCIA :  
,donde r= máx(m,n)  

iii) PRODUCTO :  
Si p(x) 0(x) y q(x)0(x) , entonces , .  

Donde  para j = 0,1,2,…,m + n.  

Si p(x) = 0(x) ó q(x) = 0(x) , entonces, p(x).p(x) = 0(x).  

Observaciones  

i) Si p(x) + q(x) 0(x), entonces : grado(p(x) + q(x)) máx(m,n). (Ejercicio 1.d).  
ii) Si p(x) × q(x)0(x) , entonces : grado(p(x) × q(x))  grado(p(x)) + grado(q(x)).  

Algoritmo de la división.  

El siguiente  teorema,  conocido como  el algoritmo de  la división, y  que  se  enuncia sin demostración, es de gran  importancia en el  álgebra,  puesto  que  permite,  por ejemplo, calcular el M.C.D. de dos  polinomios por el método de divisiones sucesivas.  

Teorema.  

Sean p(x), q(x) dos polinomios con q(x)0(x); entonces, existen polinomios únicos: c(x) y r(x) tales que :  

p(x) = c(x) . q(x) + r(x),  

donde r(x) es el polinomio nulo o grado (r(x)) < grado (q(x)).  

El teorema anterior justifica el algoritmo comúnmente empleado para dividir dos polinomios. A los polinomios c(x) y r(x), se les llama respectivamente cociente y residuo de dividir p(x) (dividendo) entre q(x) (divisor).  

Así, por ejemplo, para obtener el cociente c(x) y el residuo r(x) de dividir el polinomio  entre ,se puede desarrollar la siguiente   
forma práctica:  

Como grado[] = 1 < grado() = 2 , entonces, la división culmina en ese punto y ,por tanto, el cociente de la división es : c(x) =  y el residuo es : r(x) = .  

Caso particular: Si el  dividendo p(x) es de  grado n y el  divisor q(x) es  de grado 1, es decir, ,  entonces, de acuerdo con  el algoritmo de la división, el cociente c(x) es de grado  (n-1) y  el residuo  r(x) es  el polinomio nulo ó bien es de grado cero; es decir, r(x) puede identificarse como una constante r, y, así, se tiene:  

p(x) = c(x)() + r .  

Cuando , es  posible  obtener  el  cociente c(x) y  el  residuo r(x)   mediante el procedimiento conocido como división sintética ó regla de Ruffini, el cual se explica a continuación:   

Si, y , siendo   

a = - , entonces, los coeficientes  del cociente c(x) y r de residuo, que se obtienen utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, son:  

• : : 
• : : 

Estos resultados pueden obtenerse con la siguiente disposición práctica: